Induksi Matematika

 Siti Latifah XI IPS 2

Konsep Dasar Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah.

Pada prosesnya, kesimpulan ditarik berdasarkan kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus juga dapat berlaku benar juga.

Selain itu, suatu variabel dalam induksi matematika juga dianggap sebagai sebuah anggota dari himpunan bilangan asli.

Pada dasarnya, terdapat tiga langkah dalam induksi matematika agar dapat membuktikan apakah suatu rumus atau pernyataan dapat bernilai benar atau justru sebaliknya.

Langkah-langkah tersebut adalah :

• Membuktikan suatu pernyataan atau rumus benar untuk n = 1.
• Mengasumsikan suatu pernyataan atau rumus benar untuk n = k.
• Membuktikan suatu pernyataan atau rumus benar untuj n = k + 1.

Dari langkah di atas, dapat kita asumsikan bahwa sebuah pernyataan harus dapat dinyatakan kebenarannya untuk n=k dan n=k+1.

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli. Untuk melakukan pembuktian menggunakan induksi matematika, ada langkah-langkahnya, nih. Bagaimana langkah-langkah melakukan induksi matematika?

 

langkah-langkah melakukan induksi matematika

 

Waduh, maksudnya apa tuh ya langkah-langkah di atas. Oke, biar nggak bingung, mending langsung aja kita aplikasikan ke contoh soal di bawah ini.

Buktikan deret 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1) 

Langkah pertama

Kita akan buktikan untuk n = 1 adalah benar. Karena pernyataan tersebut merupakan deret, maka n di sini maksudnya jumlah suku pertama deret tersebut. Nah, yang diminta n = 1, berarti jumlah suku pertamanya hanyalah 1. Kemudian, kita substitusi semua n dengan 1. Jadi,

Penyelesaian

Seperti yang dijelaskan sebelumnya, untuk membuktikan pernyataan dengan metode induksi matematika menggunakan dua langkah. Maka, penerapannya untuk menyelesaikan soal di atas ialah sebagai berikut:

Langkah dasar untuk menunjukkan 𝑃(n) bernilai benar:

Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1^2 = 1.

Maka, pernyataan di atas bersifat benar karena bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

Langkah induktif

Apabila 𝑃(n) bernilai benar, yakni pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n ^2, maka pernyataan P(n +1) juga perlu dibuktikan, yakni menjadi:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

ADVERTISEMENT

Maka, penyelesaian pembuktiannya ialah:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n^2+ (2n + 1)

= n^2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Berdasarkan penyelesaian di atas, hasil dari langkah dasar dan langkah induksi telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n^2.

Langkah pertama terbukti ya karena ruas kiri dan kanannya sama.

• Langkah kedua

Kita asumsikan pernyataan benar untuk n = k. Berarti jumlah suku pertamanya itu dari 1 + 2 + 3 + ... + k, ya. Sehingga,

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah ketiga.

• Langkah ketiga

Buktikan untuk pernyataan n = k + 1 juga benar. Kita bisa membuktikannya menggunakan modal dari langkah kedua. Karena kita mau n = k + 1, maka di ruas kiri, kita tambahkan satu suku, yaitu k + 1. Jadi,

Di langkah kedua, kita peroleh 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 (k)(k + 1). Maka,

Selanjutnya, kamu ingat nggak dengan sifat distribusi pada perkalian? Kalau ada (a + b)(c + d), maka bisa menjadi a(c + d) + b(c + d). Nah, di ruas kiri, bisa kita ubah persamaannya menggunakan sifat perkalian distribusi.

Misalnya, a = k, b = 2, dan (c + d) = (k + 1). Berarti,

Karena ruas kiri dan kanannya sudah sama, berarti terbukti kalau untuk deret 1 + 2 + 3 + ... + n nilainya sama dengan 1/2 n(n + 1).

Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal.

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

3²⁽¹⁾ + 2²⁽¹⁾⁺² = 3² + 2⁴ = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

3^2k + 2^{2k + 2}

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 3^2(k+1) + 2^2(2k+2) 

= 3^2k+2 + 2^2k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(3^2k) + 5(2^2k+2) – 3^2k – 2^2k+2

= 10 (3^2k) + 5 (2^2k+2) – (3^2k + 2^2k+2)

Diperoleh:

10 (3^2k) sudah habis dibagi 5, 5(2^2k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(3^2k) + 2^2k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2n = 2ⁿ⁺¹ – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 2⁰ = 1

Jika p(n) benar, yakni 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 2⁰  + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2n+1 = (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi). 

= (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1

= (2.2ⁿ⁺¹) – 1

= 2ⁿ⁺² – 1 

= 2^(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1.