Siti Latifah XI IPS 2

Program Linear

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL

Metode Grafik

Metode ini menyelesaikan masalah dengan menentukan titik perpotongan dua garis lurus yang merupakan tampilan dari kedua persamaan linear dua variabel.
Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian SPLDV dengan metode grafik:
1. Tentukan titik potong salah satu persamaan linear dengan sumbu X atau sumbu Y.
2. Hubungkan kedua titik potong dengan menggunakan garis lurus.
3. Lakukan langkah 1 dan 2 untuk persamaan lain pada SPLDV.
4. Jika kedua titik berpotongan di (x,y) = (x1, y1), penyelesaian SPLD adalah x=x1 dan y=y1.
5. Jika kedua titik tidak berpotongan, SPLDV tidak memiliki penyelesaian.

Contoh Soal
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Tentukan titik perpotongan tiap-tiap persamaan terhadap sumbu X dan Y.

Untuk 4x + 5y = 40

Titik perpotongan terhadap sumbu X (y=0)
= 4x + 5(0) = 40
= 4x + 0 = 40
=x = 40/4 = 10
Jadi, garis berpotongan dengan sumbu X di (10,0)

Titik perpotongan terhadap sumbu Y (x=0)

= 4(0) + 5y = 40
= 0 + 5y = 40
=y= 40/5= 8

Jadi, garis berpotongan dengan sumbu Y di (0,8)

Untuk x + 2y = 14
• Titik perpotongan terhadap sumbu X (y=0)
= x + 2(0) = 14
= x + 0 = 14
= x = 14
Jadi, garis berpotongan dengan sumbu X di (14,0)

• Titik perpotongan dengan sumbu Y (x=0)
= 0 + 2y =14
= 2y = 14
= y = 14/2 = 7
Jadi, garis berpotongan terhadap sumbu Y di (0,7)

2. Gambarkan tiap-tiap persamaan dalam sebuah koordinat Kartesius.
3. Jika sudah Digambar, kamu akan mendapat perpotongan di titik (x,y) = (2,6)

Metode Substitusi

Cara selanjutnya adalah metode substitusi. Penyelesaian dengan metode ini adalah dengan memasukkan salah satu variabel ke variabel lain.

Contoh Soal
Selesaikan SPLDV di bawah ini menggunakan metode substitusi.

Penyelesaian

1. Beri tanda persamaan

1) pada persamaan linear yang terletak di atas dan 2) pada persamaan linear bagian bawah.

2. Cari persamaan baru dengan cara mengubah persamaan linear 2). Kurangkan persamaan linear 2) dengan 5x
= 5x - 5x + y = -11 - 5x
= y = -11 - 5x

3. Substitusikan persamaan y = -11 -5x di atas ke dalam persamaan 1)
= 4x + 3y = -11
= 4x + 3(-11 - 5x) = -11
= 4x -33 - 15x = -11
= -11x - 33 = -11

4. Tambahkan kedua ruas dengan 33 untuk mendapatkan nilai variabel x
= -11x - 33 + 33 = -11 + 33
= -11x = 22
= x = 22/(-11) = -2

5. Setelah mendapatkan satu nilai variabel, substitusikan ke dalam persamaan 2)
= 5x + y = -11
= 5(-2) + y = -11
= -10 + y = -11
= y = -11 +10
= y = -1

Jadi, penyelesaian SPLDV adalah x = -2 dan y = -1

Metode Eliminasi

Eliminasi berasal dari bahasa Inggris eliminate yang berarti menghapuskan. Artinya, dalam metode ini terdapat proses menghilangkan variabel tertentu untuk mendapatkan nilai dari variabel yang lain.

Contoh Soal
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode eliminasi

Penyelesaian
Pilihlah salah satu variabel yang akan kamu tentukan nilainya. Jika ingin menentukan nilai variabel x, samakan koefisien variabel y dengan cara eliminasi.

= -3x + 0 = -15
= 3x = 15
= x = 15/3 = 5
Jadi, nilai x = 5

Kemudian, mencari nilai variabel y 
Kalikan persamaan 2x + 3y = 1 dengan 5 dan persamaan 5x + 3y =16 dengan 2. Hasil perkalian tersebut menjadi persamaan baru seperti berikut.

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5, y = -3

DAERAH BERSIH DAN DAERAH KOTOR

Gambar daerah bersih dan daerah kotor dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y < 19, x ≥ 0, y > 0

PENYELESAIAN:

• 3x + 2y ≤ 12

 x = 0

3.0 + 2y = 12

         2y = 12

           y = 6

3x + 2.0 = 12

         3x = 12

           x = 4

• 5x + 3y < 19

  y = 0

 5x + 3.0 = 19

          5x = 19

            x = 3,8

 5.0 + 3y = 19

          3y = 19

            y = 6,3

DAERAH PENYELESAIAN

daerah penyelesaian x ≥ 0

daerah penyelesaian y > 0

 DAERAH ARSIRAN

gambar daerah kotor

gambar daerah bersih

KESIMPULAN:

Daerah kotor - Himpunan/daerah penyelesaiannya adalah daerah yang mengalami banyak arsiran

Daerah bersih - Himpunan/daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak terkena arsiran