Limit

 

Siti Latifah 

LIMIT

6 April, 2023

 A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:

Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Toerema / Pernyataan:

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri dan limit kananya mempunyai besar nilai yang sama dan apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

Bentuk kedua

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

B. Teorema limit

Limit dalam bahasa umum bermakna batas. Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

Limit 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk sederhanakan fungsi tersebut. 

Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi, dan jangan lupa aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). 

Berikut adalah contohnya :

Limit ∞/∞

Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti

Rumus cepat limit bentuk ∞/∞

Jika m<n maka L = 0

Jika m=n maka L = a/p

Jika m>n maka L = ∞

Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. 

Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh dari penyederhanaan. 

Jika disubstitusikan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). 

Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi

Rumus Cepat limit tak hingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak hingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak hingga pada bentuk pecahan. 

Untuk memperoleh nilai limit tak hingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

Ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. 

Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut.

Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut.

Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut.

Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

Nilai pangkat tertinggi pada pembilang adalah 3. Nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.

C. LIMIT TAK TENTU

Kalian pasti tidak asing lagi dengan bentuk limit di atas. Ketiga bentuk limit tersebut memiliki penampilan yang sama yaitu terdapat hasil bagi dan memiliki pembilang dan penyebut berlimit nol. Khusus untuk limit yang ketiga sebenarnya merupakan definisi turunan 

menghitung limit itu dengan mensubstitusikan nilai x.

 pada fungsi pembilang dan penyebut, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. Namun demikian, kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut tidak ada, melainkan kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit.

Anda tentunya masih ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat membuktikan bahwa

Di lain pihak, dengan menggunakan pemfaktoran dalam aljabar, kita peroleh

Kita telah berhasil menyelesaikan dua bentuk limit di atas dengan menggunakan geometri dan pemfaktoran aljabar, tetapi tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian. Memang ada, yaitu suatu aturan yang lazim dinamakan Aturan I’Hopital (baca: loupital).

Aturan I’Hopital.

Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de I’Hopital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli.

TEOREMA: Aturan I'Hopital

ada, baik ia terhingga atau tak-terhingga (misalnya, bilangan terhingga L, ∞,atau-∞), maka

Mari kita lihat beberapa contoh penerapan dari aturan I’Hopital.

CONTOH 1:

Gunakan aturan I’Hopital untuk membuktikan bahwa

Jika kita mensubstitusikan nilai x pada fungsi pembilang dan penyebut, kita akan peroleh dua limit tersebut berbentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan I’Hopital yaitu sebagai berikut.

Jadi, limit yang pertama adalah 1 dan limit yang kedua adalah bernilai 0.

Daftar pustaka

Bunyan. Jagostat. 2021

Komentar

Postingan populer dari blog ini

REMEDIAL PTS

April 02, 2023

Gambar

 

BACA SELENGKAPNYA

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

Januari 07, 2023

Gambar

  A. INTEGRAL TAK TENTU Integral merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan yang berfungsi untuk menentukan daerah, volume, titik pusat, dan lainnya. Kalau suatu fungsi f(x) dibalik menjadi f’(x) maka itu merupakan turunan. Nah, jika f’(x) dibalik lagi menjadi f(x), maka itu merupakan integral. Sebelum ke rumus integral tak tentu, perlu paham konsep turunan nih. Nih kasih bayangin dikit tentang turunan secara umum. y= X3 Turunan dari soal ini berapa? dydx = 3×2 Setelah diturunkan seperti ini, lalu dikali silang. dy = 3×2 dx d(X3) = 3×2 dx Bisa dilihat ya, y diganti dengan X3 Nah, dari sini bisa kita simpulkan ya cara mencari turunan bentuknya akan seperti ini nih. Turunan dari X2 akan menjadi d(X2) = 2x dx Oke, konsep turunan udah ingat lanjut ke materi integral tak tentu lagi. Coba deh perhatikan antara turunan dan integral di bawah ini. Turunan: Sekarang kita balik, dikalikan silang ya: df(x) = f’(x)dx Kita tambahkan aja lambang integral (∫), menjadi: ∫df(x) = ∫f’(x)dx

BACA SELENGKAPNYA

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Januari 07, 2023

Gambar

  A. Turunan fungsi aljabar dan rumus rumus turunan Turunan fungsi atau juga bisa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f' yang mempunyai nilai tidak memakai aturan dan hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang dimasukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi. Lalu untuk pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi. Notasi turunan fungsi aljabar seperti berikut: Seperti yang telah disebutkan di atas, jika turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut: Rumus Turunan Aljabar Setelah memahami tentang pengertian dari turunan fungsi aljabar, hal yang perlu Sobat Pintar pelajari adalah rumus dari turunan fungsi aljabar. Rumus turunan fungsi aljabar ini terbagi menjadi beberapa rumus berikut: Turunan Fungsi Pangkat Tu

BACA SELENGKAPNYA

 Diberdayakan oleh Blogger

Gambar tema oleh Michael Elkan

REGI DIANA SAVITRI

KUNJUNGI PROFIL

Arsip

Laporkan Penyalahgunaan